پایان نامه حل عددی معادلات غیرخطی همزمان مربوطه به صورت فایل ورد word و قابل ویرایش می باشد و دارای ۸۳ صفحه است . بلافاصله بعد از پرداخت و خرید لینک دانلود پایان نامه حل عددی معادلات غیرخطی همزمان نمایش داده می شود، علاوه بر آن لینک مقاله مربوطه به ایمیل شما نیز ارسال می گردد
فصل اول: کلیات پژوهش
۱-۱- مقدمه ۱
۱-۲- بیان مسأله ۲
۱-۳- پیشینه ۲
۱-۴- اهداف ۳
۱-۵- مروری بر پایان¬نامه ۳
فصل دوم: حل دستگاه معادلات خطی
۲-۱- مقدمه ۵
۲-۲- روش¬های حل دستگاه معادلات خطی ۵
۲-۲-۱- استفاده از معکوس ماتریس ۶
۲-۲-۲- روش کرامر ۷
۲-۲-۳- روش حذفی گاوس ۹
۲-۲-۴- روش تجزیه LU ۱۱
۲-۲-۵- روش تجزیه LDV ۱۲
۲-۲-۶- روش تجزیه چولسکی ۱۴
۲-۲-۷- روش تکراری ژاکوبی ۱۴
۲-۲-۸- روش گاوس سیدل ۱۶
فصل سوم: معادلات غیرخطی
۳-۱-مقدمه ۱۹
۳-۲- مرتبه یک ریشه ۱۹
۳-۳- مرتبه همگرایی ۲۰
۳-۴- روش¬های عددی برای حل معادلات غیرخطی تک متغیره ۲۰
۳-۴-۱- روش تنصیف ۲۱
۳-۴-۲- روش نابجایی ۲۲
۳-۴-۳- روش نیوتن رافسون ۲۳
۳-۴-۵- روش وتری ۲۴
۳-۴-۶- روش تکرار ساده ۲۵
۳-۴-۷- روش ایتکن ۲۶
۳-۴-۸- روش استفنسن ۲۶
۳-۵- حل دستگاه دو معادله دو مجهولی غیرخطی با روش نیوتن رافسون ۲۸
۳-۶- دستگاه معادلات غیرخطی چند متغیره ۲۹
۳-۶-۱- روش نیوتن ۳۲
۳-۶-۱-۱- ضعف روش نیوتن ۳۴
۳-۶-۱-۲- الگوریتم روش نیوتن ۳۴
۳-۷- روش هموتوپی ۳۷
۳-۸- مسأله تداوم ۳۸
۳-۹- همگرایی هموتوپی ۳۹
۳-۱۰- روش نقطه ثابت برای توابع چند متغیره ۴۴
فصل چهارم: روش پیشنهادی
۴-۱- مقدمه ۴۹
۴-۲- روش نیوتن رافسون ۴۹
۴-۳- روش پیشنهادی ۵۰
۴-۴- محاسبه یک نقطه شروع مناسب ۵۴
فصل پنجم: نتیجه¬گیری ۶۰
پیوست¬ها ۶۲
فهرست منابع ۷۲
[۱] J.M. Scheurle, Newton iterations without inverting the derivative, Math. Meth. Appl. Sci. (1979) 514.
[۲] L.K. Schubert, Modi®cations of a quasi-Newton method for nonlinear equations with a sparse Jacobian, Math. Comput. 25 (1970) 27.
[۳] G.G. Broyden, A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations, Math. Comput. 19 (1965) 577.
[۴] B. Carnahan, A.H. Luther, J.O. Wilkes, Applied Numerical Methods, Wiley, New York, 1969.
[۵] W.R. Paterson, On preferring iteration in a transformed variable to the method of successive substitution, Chem. Eng. Sci. 41 (1986) 601.
[۶] S.D. Conte, C. de Boor, Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach, McGraw-Hill, New York, 1981.
[۷] N. Kockler, Numerical Methods and Scienti®c Computing, Clarendon Press, Oxford, 1994.
[۸] M.Daehlen, A. Tveito, Numerical Methods and Software Tools in Industrial Mathematics, Birkhauser, Boston, 1997.
[۹] Y. Jaluria, Computer Methods for Engineering, Taylor & Francis, Washington, 1996.
[۱۰] W. H. Press, Solution of Nonlinear Equations, Com S 477/577, Oct 7, 2010.
[۱۱] K. WRIGHT, Numerical Solution of Differential Equations for the Analytic Singular Value Decomposition, Computing Science Department, University of Newcastle-upon-Tyne, Newcastle-upon-Tyne, 2008.
[۱۲] Crina Grosan and Ajith Abraham, Senior Member, IEEE, A New Approach for Solving Nonlinear Equations Systems, IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS—PART A: SYSTEMS AND HUMANS, VOL. 38, NO. 3, MAY 2008.
[۱۳] Chi Chun-Mei, A Few Numerical Methods for Solving Nonlinear Equations, International Mathematical Forum, 3, 2008.
[۱۴] O.Taiwo, The solution of simultaneous nonlinear equations by the single variable Newton-Raphson method, NSChE J. 8 (1989) 52.
با توجه به اینکه معادلات جبری و غیرجبری غیرخطی نقش بسزایی در علوم مهندسی دارند، بنابراین بررسی موضوعاتی در رابطه با آنها از اهمیت ویژهای برخوردار میباشد. اغلب کارهای انجام شده در این راستا با استفاده از تغییراتی در روش نیوتن-رافسون، استفاده از روشهای تکرار و الگوریتمهای بهینهسازی حاصل شده است. در اکثر مقالاتی که اخیراً ارائه شده، در مورد بهینهسازی روش نیوتن که هدف کاهش تعداد توابع موردنیاز است بحث شده است و نتایج آزمایشات عددی مختلفی حاصل شده است.
روش پیشنهادی برای حل عددی معادلات غیرخطی همزمان، بوسیله روش تکراری حاصل از دستگاه خطی پارامتری همراه با یک معادله تک متغیره غیرخطی بدست میآید این روش جدید به سرعت همگرا شده و برای مواردی که دستگاه معادلات را بتوان براحتی از یکدیگر متمایز کرد ایدهآل میباشد، این روش از روش نیوتن – رافسون ناشی شده و همگرایی آن تقریباً از مرتبه دوم است.
علاوهبراین روش پیشنهادی در پیدا کردن یک نقطه شروع مناسب برای معادلات غیرخطی همزمان نیز مورد استفاده قرار گرفته است. پیدا کردن نقطه شروع یا محاسبه کردن نقطه شروع برای دستگاههایی که هیچ اطلاع اولیهای در مورد راه حلهای ممکن ندارد بسیار مفید است.
با توجه به اینکه معادلات جبری و غیرجبری غیرخطی نقش بسزایی در علوم مهندسی دارند بنابراین بررسی موضوعات مربوط به آنها نقش بسزایی میتواند در این راستا داشته باشد. این موضوعات در کنترل سیستم و آنالیز پایداری (نقطه تعادل) مسائل بهینهسازی از اهمیت ویژهای برخوردار میباشند. این معادلات اکثراً نمیتوانند بطور تحلیلی حل شوند، بنابراین به راهحلهای عددی متوسل میشوند در واقع هیچ نظریه کلی برای حل آنها وجود ندارد. برخی روشهای موجود و کارهای انجام شده برای دست یافتن به این امر با اعمال تغییراتی در روش نیوتن–رافسون، روشهای تکرار و الگوریتمهای بهینهسازی استفاده میکنند.
روش پیشنهادی تقریباً شبیه روشن نیوتن- رافسون چند متغیره است. روش نیوتن- رافسون چند متغیره روشی بسیار جالب میباشد، زیرا همگرایی آن از درجه دوم است. نقطه اصلی آن تمایل به واگرایی هنگامی که نقطه شروع یا حدس اولیه نزدیک به جواب واقعی نباشد، است. علاوهبراین اگر ریشه تکرار از مراتب بالا باشد مثل ، باز هم ممکن است واگرا شود. بهرحال تعیین نقطه شروع آن آسان نیست. محدوده مقادیر در این روش از ماهیت مسأله مشخص میشود.
روش پیشنهادی چنانچه نشان خواهیم داد، یک روش کلی برای محاسبه نقطه شروع اولیه برای معادلات غیرخطی همزمان[۱] میباشد. این روش نیاز ما را به حدس اولیه رفع میکند چه در جاهایی که ممکن است همگرا شود یا واگرا و چه در توابعی که ممکن است تعریف نشده باشد.
در این رساله یک روش جدید برای حل عددی معادلات غیرخطی همزمان ارائه شده است. این امر به وسیله راهحل تکراری حاصل از دستگاه خطی پارامتری همراه با یک معادله تک متغیره غیرخطی به دست میآید. این روش جدید به سرعت همگرا شده و برای مواردی که دستگاه معادلات را بتوان به راحتی از یکدیگر متمایز کرد، ایدهال است. این روش از روش نیوتن-رافسون ناشی شده و همگرایی آن از مرتبه دوم است. علاوه بر این روش پیشنهادی در محاسبه نقطه شروع در معادلات غیر خطی همزمان مورد استفاده قرار گرفته است. پیدا کردن نقطه شروع برای سیستمهایی که هیچگونه اطلاعات اولیهای در مورد راهحلهای ممکن ندارند بسیار سودمند است.
در سالهای اخیر حل معادلات غیرخطی همزمان در دو قسمت مجزا ولی مکمل هم مورد بررسی قرار گرفتهاند. در قسمت اول تغییرات متنوعی از روش نیوتن مورد استفاده قرار گرفته که باعث کاهش مقدار محاسبات در بدست آوردن ماتریس ژاکوبی و حل معادلات خطی ناشی از آن شده است. نمونههایی از این تغییرات که منجر به بهبود روش نیوتن شده توسط آقای براون(Brown) در سال ۱۹۶۶ ارائه شده است. در این کار ارزایابیهای موثری در محاسبه ماتریس ژاکوبی انجام شده که منجر به کاهش محاسبات مورد نیاز برای بدست آوردن ماتریس ژاکوبی شده است. اکثر بهبودهایی که در روش نیوتن انجام شده است براساس استفاده از تقریب ماتریس ژاکوبی معکوس و بهبود دادن ماتریس تکرار در هر مرحله است. با تقریب ماتریس ژاکوبی از حل معادلات خطی همزمان در هر مرحله اجتناب میشود. روشهایی که از تقریب ماتریس معکوس ژاکوبی استفاده کردهاند کها گاهی اوقات نیز به این روشها روشهای quasi-newton گفته میشود به صورت کامل توسط آقای(Broyden) در سال۱۹۶۷ بررسی شده است. در قسمت دوم اکثر راهحلها برای حل معادلات غیرخطی همزمان بر اساس ایده آقای Davidenko در سال۱۹۵۳ارائه شده است. در این ایده نیز راهحلهایی برای کاهش محاسبات در بدست آوردن ماتریس ژاکوبی بیان شده است.
در واقع روش پیشنهادی از روش نیوتن رافسون ناشی شده که هدف، تسربع همگرایی است. علاوه بر این یک روش کلی برای محاسبه نقطه شروع اولیه برای معادلات غیرخطی همزمان معرفی میکند. روش پیشنهادی میتواند برنامهریزی شده و به وسیله سایر روشهای عددی برای حل معادلات غیرخطی همزمان مورد استفاده قرار گیرد. روش پیشنهادی میتواند برای دامنه وسیعی از سیستمهای بزرگ که در آنها هیچگونه اطلاعات قبلی در مورد راهحلهای ممکن وجود ندارد، بسیار ارزشمند باشد.
در فصل دوم روشهای حل دستگاه معادلات خطی تشریح شده و با مثالهایی مورد بررسی قرار گرفته است. این روشها در حالت کلی به ۲ دسته تقسیم میشوند، که عبارتند از روشهای مستقیم و روشهای تکراری که بصورت مفصل بحث خواهند شد.
در فصل سوم حل معادلات غیرخطی تک متغیره و چند متغیره مورد بررسی قرار خواهد گرفت. روش پیشنهادی ما که مبتنی بر معادلات غیرخطی چند متغیره است در فصل چهارم تشریح شده و در فصل ۵ نتیجهگیری کلی در مورد این رساله بیان خواهد شد. در این رساله مقاله “A new method for the numerical solution ofsimultaneous nonlinear equations” بسط داده شده است.
مجموعههای مشتمل بر بیش از یک معادله خطّی را دستگاه معادلات خطّی میگویند. در حل مسائل عددی گاهی با مسایلی روبرو میشویم که حل آنها منجر به حل یک دستگاه معادلات میگردد. برای حل دستگاههای معادلات خطی روشهای متفاوتی وجود دارد که در ادامه به تفصیل مورد بررسی قرار خواهند گرفت. دستگاههای معادلات خطی اغلب برای پیشگویی، اقتصاد و… به کار میروند. معمولاً هدف از حل کردن یک دستگاه معادلات خطی، پیدا کردن محل تقاطع دو خط میباشد و منظور از حل دستگاه، به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادلهها برقرار باشند.
روشهای حل دستگاه در حالت کلی به صورت زیر دستهبندی میشوند که عبارتند از:
روشهای مستقیم شامل:
تجزیه LLT
تجزیه LDV
تجزیه LU
استفاده از روش حذفی گاوس
استفاده از روش کرامر
استفاده از معکوس ماتریس
روشهای تکراری
روشهای ژاکوبی
روشهای تکراری گاوس سیدل
روشهای تکراری SOR
فرم جبری دستگاه معادلات خطی در حالت کلی مطابق معادله (۱-۲) میباشد:
(۱-۲)
که فرم ماتریس آن به فرم زیر خواهد بود:
تعریف ۱: دستگاه Ax=b≠۰ را دستگاه معادلات خطی غیرهمگن گویند و شرط داشتن جواب منحصر به فرد آن است که ≠۰|A| (اگر=۰|A| آن گاه دستگاه بی شمار جواب دارد یا جواب ندارد).
تعریف ۲: دستگاه Ax=0 را دستگاه معادلات همگن میگویند. شرط لازم برای اینکه جواب غیر بدیهی ( غیرصفر) داشته باشیم آن است که =۰|A| ( اگر ≠۰|A| آن گاه فقط جواب x=0 را داریم). یکی از روشهای حل دستگاه Ax=b استفاده از معکوس ماتریس است، هرگاه ≠۰|A| آنگاه معکوس A موجود است و اگر از سمت چپ طرفین معادله را به A–1 ضرب کنیم طبق رابطه (۲-۲) خواهیم داشت :
(۲-۲)
اشکال این روش آن است که اگر ابعاد ماتریس بزرگ باشد آن گاه یافتن معکوس ماتریس پرهزینه و زمانبر خواهد بود.
۱-۲-۲- استفاده از معکوس ماتریس
روشهای زیادی برای یافتن معکوس ماتریس وجود دارد که در حالت کلی عبارتند از:
استفاده از فرمول (۱) :
(۱)
همانطور که میدانیم ترانهاده ماتریس همسازه (adj(A)) ماتریس الحاقی میباشد.
استفاده از اعمال سطری مقدماتی
در این روش A و I را در نظر میگیریم، سپس با اعمال سطری مقدماتی روی A آنرا به I تبدیل میکنیم و همزمان همان اعمال سطری مقدماتی را روی I انجام میدهیم. زمانی که A به I تبدیل میشود، I نیز به A-1 تبدیل خواهد شد.
استفاده از حل دستگاه
فرض کنید A-1=B باشد و لذا باید داشته باشیم AB=I که B مجهول است. فرض کنید B=[b1,b2,… , bn] که در واقع b1 ستونهای ماتریس B بوده و مجهولاند، پس طبق رابطه (۳-۲) خواهیم داشت:
A= [b1, b2, …, bn] =[e1,e2,… , en],
[Ab1, Ab2 , …, Abn]= [e1,e2,… , en],
Ab1= e1,
Ab2= e2, (۳-۲)
.
.
.
Abn= en.
در رابطه (۳-۲) eiها ستونهای I بوده و Abi ها هر کدام یک دستگاه می باشد که از حل هر یک ستون B حاصل میشود و در نهایت B یعنی A-1 حاصل خواهد شد.
۲-۲-۲- روش کرامر
روش کرامر برای حل دستگاه مذکور در معادله (۱-۲) که در آن ≠۰|A| میباشد بر اساس رابطه (۴-۲) میباشد:
(۴-۲)
اشکال این روش آن است که اگر ابعاد ماتریس بزرگ باشد یافتن دترمینان ماتریس پر هزینه خواهد بود.
قضیه ۱: دستگاه Ax=b که در آن A مربعی n×n و ≠۰|A| است را داریم، دستور کرامر را برای این دستگاه بیان و ثابت میکنیم:
اثبات: فرض کنید باشد که در آن aiها ستونهای ماتریس A میباشند. دستور کرامر بصورت و j=1, … , n که در آن Aj ماتریسی است حاصل از A که به جای ستون jام بردار قرار گرفته است. چون ≠۰|A|، پس A معکوسپذیر است و لذا از Ax=b خواهیم داشت .x=A-1b از طرفی که adj(A)، ماتریس الحاقی A است پس طبق رابطه (۵-۲) داریم:
(۵-۲)
حال از رابطه و طبق رابطه (۶-۲) خواهیم داشت:
(۶-۲)
از رابطه (۶-۲) داریم:
از طرفی طبق رابطه (۷-۲) داریم:
(۷-۲)
اگر دترمینان Aj را به صورت زیر حساب کنیم همان جمله موجود در صورت رابطه (۶-۲) حاصل میشود.
پس طبق رابطه (۸-۲) داریم:
(۸-۲)
۳-۲-۲- روش حذفی گاوس برای حل دستگاه Ax=b
در این روش ابتدا ماتریس افزوده یعنی [A ; b] را به صورت زیر در نظر میگیریم، سپس با اعمال سطری مقدماتی قطر اصلی A را به صفر تبدیل میکنیم و دستگاه را حل میکنیم.
برای اینکه قسمت زیرین قطر اصلی به صفر تبدیل شود بصورت زیر عمل میکنیم.
گام اول: اگر a11≠۰ باشد، در اینصورت سطر اول را به ( – ) و (i=2 , … , n )ضرب کرده و با سطرهای دوم تا n جمع میکنیم، بنابراین خواهیم داشت:
گام دوم: اگر a22=0 باشد آنگاه با ضرب سطر دوم در ( – ) و جمع آن با سطرهای سوم تا nام خواهیم داشت:
با ادامه این روند همواره بعد از (n-1) مرحله خواهیم داشت:
پس دستگاه نهایتاٌ به صورت زیر تبدیل خواهد شد که در آن از معادله آخر xn و از معادله اول x1 حاصل می شود.
۱- simultaneous nonlinear equation
تمام مقالات و پایان نامه و پروژه ها به صورت فایل دنلودی می باشند و شما به محض پرداخت آنلاین مبلغ همان لحظه قادر به دریافت فایل خواهید بود. این عملیات کاملاً خودکار بوده و توسط سیستم انجام می پذیرد.
جهت پرداخت مبلغ شما به درگاه پرداخت یکی از بانک ها منتقل خواهید شد، برای پرداخت آنلاین از درگاه بانک این بانک ها، حتماً نیاز نیست که شما شماره کارت همان بانک را داشته باشید و بلکه شما میتوانید از طریق همه کارت های عضو شبکه بانکی، مبلغ را پرداخت نمایید.
ارسال نظر