پایان نامه خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی مربوطه  به صورت فایل ورد  word و قابل ویرایش می باشد و دارای ۶۶  صفحه است . بلافاصله بعد از پرداخت و خرید لینک دانلود پایان نامه خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی نمایش داده می شود، علاوه بر آن لینک مقاله مربوطه به ایمیل شما نیز ارسال می گردد

فهرست مطالب

۱-۱- تاریخچه   ۱
۲-۱- دنباله فیبوناچی چیست :‌   ۱
۳-۱- عدد طلایی چیست :‌   ۲
۴-۱- تعریف عدد طلایی :   ۳
۵-۱- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌   ۴
۶-۱- نمایش کسری عدد طلایی :   ۵
۷-۱- عدد طلایی ، گنگ یا گویا :   ۶
۸-۱- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی   ۷
اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌   ۷
اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) :   ۸
اعداد فیبوناچی و موجودات زنده :‌   ۱۴
۱-۲- خرگوش‌های فیبوناچی   ۱۴
گاوهای دودنی   ۱۶
۲-۲- زنبورهای عسل و شجره خانوادگی   ۱۷
۳-۲- اعداد فیبوناچی و اندام انسانها :   ۱۹
۴-۲- ستاره دریایی   ۱۹
۵-۲- مستطیل‌های فیبوناچی  و مارپیچ های صدفی   ۲۰
اعداد فیبوناچی و گیاهان   ۲۳
۱-۳- مقدمه   ۲۳
۲-۳- مخروط های کاج   ۲۵
اعداد فیبوناچی مخروطها:   ۲۶
۳-۳- آناناس   ۲۷
۴-۳- موز و سیب :   ۲۸
۵-۳- کلم و کلم بروکلی   ۲۸
۶-۳- بخش فوقانی گلهای تخمدار   ۲۹
۷-۳- ترتیب بندی در شاخه ها   ۳۵
۸-۳- نخل خرما   ۳۷
۹-۳- ترتیب بندی های برگ   ۳۹
برگها در هر چرخش   ۳۹
طرز قرارگیری برگ در بعضی از گیاهان معمول   ۴۱
گیاهان ۸ برگ :   ۴۲
۱۰-۳- ترتیب بندیها در گلبرگ ها   ۴۳
گلبرگ های موجود بر روی گل ها   ۴۳
سوسن   ۴۴
– گل های دارای چهار گلبرگ:   ۴۴
– گلهای دارای ۵۵ ، ۸۹ گلبرگ:   ۴۶
۱-۴- شمارش فیبوناچی و عدد طلایی   ۴۸
چرا طیبعت تمایل به استفاده از phi در بسیاری از گیاهان دارد؟   ۴۹
۲-۴- بسته بندی‌‌ها   ۴۹
۳-۴- مریستم و الگوهای رشد مارپیچی   ۵۰
۴-۴- عدد طلائی  (phi) در طبیعت   ۵۱
تناسب ـ نسبت طلائی   ۵۴
معرفی کتاب :   ۵۶
کتابهای نوشته شده در توسط Truai Garlancl :   ۵۶
مقالات :   ۵۷
برنامه نویسی   ۵۸
منابع :   ۶۲

منابع :

ابراهیمی ، محمد مهدی ، ضروریات جبری ، جلد ۲ ( ماتریس ها و فضاهای برداری ) ، نوشته
تی . اس . پلاس وای . اف . رابرتسون ( ترجمه ) ، چاپ اول ، فروردین ۱۳۸۰ ، چاپ هفتم ،
دی ۱۳۸۲

Marhematical Mystery Tour by Mard Whal , 1989.

Fascinating Fibonaccis by Trudi Hammel Garland .

Fibonacci Fun : Fascinating Activities with Intriguing Numbers Trudi.

Mathematical Models H M Cundy and A P Rollett .

On Growth and From by D’Arcy Wentworth Thompson , Dover ,
( Complete Revised edition 1992).

۱-۱- تاریخچه

لئوناردو دا پیزا یا به عبارت مشهورتر فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضی دانان اروپا در سال ۱۱۷۵ در شهر پیزا متولد شد . وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و … مسافرت نمود . فیبوناچی در سال ۱۲۰۰ به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود.

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن زمان امپراطوری روم رایج بوده است از جمله مهمترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده است . وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می گوید :

« نه رقم هندی وجود دارد : ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به وسیله آنها و همچنین‌علامت . که در عربی صفر نامیده می شود می توان هر عددی را به شیوه هایی که توضیح داده خواهد شد نوشت » .

موارد قابل توجه زیادی در مورد زندگی این ریاضیدان وجود دارد که شاید در مختصر نوشته ای در آینده با نام معرفی فیبوناچی به آنها اشاره خواهیم نمود.

اما آنچه در اینجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله ای از اعداد می باشد که همه ما در دوران دبیرستان با این دنباله به عنوان یکی از مصادیق دنباله های بازگشتی آشنا شده‌ایم . هرچند که این دنباله در نگاه اول بسیار ساده و معمولی به نظر می رسد ولی روابط و نکات قابل توجهی در مورد این دنباله ساده وجود دارد که سالیان است
توجه بسیاری از متخصصین نظریه اعداد را به خود معطوف کرده و آنها را به شگفتی واداشته است .

۲-۱- دنباله فیبوناچی چیست :‌

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود . در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراطور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد .

فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت ( یک نر و یک ماده ) از آنها که به سن یک ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می کنند . حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش ها در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .

فرض کنیم X_n تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، می دانیم که X₂=1,X₁=1  ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (X_n ) . اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسیده اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهدبود با X_n-1  پس خواهیم داشت :

X₁ = 1 , X₂=1 , X_n+1=X_n+X_n-1

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

۱,۱,۲,۳,۴,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته های دیگر را به خود جلب کرده است .

۳-۱- عدد طلایی چیست :‌

پیشینه توجه به این عدد نه به  زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می رسد. اقلیدس در قضیه
سی ام جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد این نسبت را مطرح کرده است .

لوکا پیشولی (Luca Pacioli ) در سال ۱۵۰۹ پس از میلاد کتابی با عنوان نسبت الهی
(The Divine Propotion ) تالیف کرد . وی در آن نقاشی هایی از لئوناردو داوینچی آورده است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده است .

در این نوشته نماد یونانی (Phi ) Ф را برای عدد طلایی برمی گزینیم . هرچند بعضی از ریاضیدانان از نمادهای دیگری مانند ( Tau ) نیز برای نمایش این عدد استفاده نموده اند .

۴-۱- تعریف عدد طلایی :

عدد طلایی عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید و یا عددی که یک واحد از معکوس خود بزرگتر باشد را عدد طلایی می نامیم.  در اثر هر دو تعریف به یک معادله درجه دوم دست خواهیم یافت .

Phi² = Phi + 1

Phi = 1 + 1/Phi

اگر طرفین را در Phi ضرب کنیم خواهیم داشت :‌                                             Phi² = Phi +1

عبارت فوق از ساده ترین تعاریف برای عدد طلایی می باشد .

برای پیداکردن مقدار این عدد کافی است معادله درجه دوم (۱) را حل کنیم . می توان این معادله را از روش عمومی حل معادلات درجه دوم به آسانی حل کرد و یا از راه حل زیر برای آن استفاده کرد :‌

داریم            )

از آنجا که عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلایی برابر خواهد بود با  ، اما ریشه دیگر معادله نیز از بابت کاربرد برای ما حائز اهمیت می باشد که آن را با نمایش می دهیم .

اگر نگاه دقیق تری به دو ریشه حاصل از معادله داشته باشیم به روابط جالبی بین آنها دست خواهیم یافت که به راحتی قابل اثبات می باشند ، به عنوان مثال :‌

۵-۱- ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی :‌

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به چند نمونه اشاره می کنیم .

۱- اگر معادله خط را در نظر بگیریم چون Phi که به عنوان شیب این خط در نظر گرفته شده عددی است گنگ و نمی توان آن را به صورت حاصل تقسیم دو عدد صحیح نوشت خط از هیچ نقطه ای با مختصات (i , j ) به طوریکه j ,i  هر دو عدد صحیح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (۰,۰ ) که در تمام خطوط با معادلی کلی y=ax مشترک می باشد.

حال اگر نمودار این خط را رسم کنیم نکته ای که قابل توجه می باشد نزدیکترین نقاط با مختصات ( i , j  ) به طوریکه
i , j هر دو صحیح باشند به این خط است . در حال حاضر فرض بر آن است که این خط برای  تعریف شده هرچند که این مطلب تاثیر چندانی روی استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روی اعداد مثبت آغاز کرده ایم اینطور فرض می نمائیم .

برای یافتن نقاط نزدیک به این خط با مختصات صحیح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسی قرار می دهیم . اگر از نقطه ابتدایی که همانطور که در فوق آمد استثنا میباشد صرف نظر نمائیم . به نظر می رسد نزدیکترین نقطه (۱,۱ ) می باشند . نقطه بعدی( ۲,۱) است . پس از آن نقطه (۳,۲ ) به خط نزدیک می باشد و به ترتیب زیر ادامه خواهدیافت .

(۱,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی می باشد، باکمی دقت در مختصات این نقاط در خواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می کند . این نقاط را نقاط فیبوناچی می نمامیم .

۲- دومین مطلبی که در زمینه ارتباط Phi با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است :‌

به نظر می رسد که دنباله همگرا به عددی بین ۶/۱ تا ۷/۱ می باشد اما هیچکدام از این مطالب دلیل همگرایی نمی باشد . باید حد دنباله محاسبه شود :‌

براساس ضابطه دنباله فیبوناچی اگر n را به اندازه کافی بزرگ درنظر بگیریم میتوان نوشت :‌

حال اگر حد دنباله را هنگامی که n به بینهایت میل می کند L فرض کنیم خواهیم‌داشت :

و با حل معادله فوق به حد دنباله دست خواهیم یافت . توجه کنید که معادله حاصل در واقع همان معادله ایست که در ابتدا برای بدست آوردن عدد طلایی مطرح شد .

با حل این معادله خواهیم داشت :

چون می دانیم که حد دنباله مثبت است ( چون تمام جملات دنباله مثبت هستند) پس حد دنباله ساخته شده برابر با عدد طلایی می باشد .                                                                                                L=Phi

البته مطلب فوق مختص سری فیبوناچی نیست . برای هر دنباله ای که از قاعده فیبوناچی پیروی کند ، با هر مقدار دلخواه برای دو جمله ابتدایی ، صادق است .

۶-۱- نمایش کسری عدد طلایی :

اگر تعاریف مطروحه برای عدد طلایی را به خاطر بیاورید حتماً رابطه زیر را نیز به یاد خواهید آورد .                                                             Phi = 1 + 1/Phi

این رابطه بدین معناست که ما مجاز به جایگزینی Phi با ۱+۱/Phi در روابط میباشیم . حال اگر در خود رابطه این جایگزینی را اعمال نمائیم خواهیم داشت :

Phi = 1+1/Phi = 1+1/(1+1/Phi)=1+1/(1+1/(1+1/Phi))= …

در نتیجه Phi را می توان به صورت یک کسر نامتناهی به شکل زیر نوشت :‌

Phi = 1+1/(1+1/(1+1/(1+… )))

متوقف کردن این کسر در مراحل گوناگون ما را به تقریبهایی برای Phi میرساند که هرچه توقف درمرتبه بالاتری صورت پذیرد تقریب به Phi نزدیکتر خواهدبود . به چند نمونه از این تقریبها دقت کنید :‌

Phi =1,Phi=1+1/1=2,Phi=1+1/(1+1/1)=3/2 , Phi=1+1/(1+1/(1+1/1))=5/3

مشاهده می کنیم که اولین عدد ( ۱ ) برابر است با Fib (2) /Fib(1) همانطور که از رابطه نمایش کسری Phi مشخص است کافی است به معکوس این عدد یک واحد بیافزاییم تا تقریب بعدی به دست آید

۱+۱/(Fib(2)/Fib(1))=1+(Fib(1)/Fib(2))=(Fib(2)+Fib(1))/Fib(2)=Fib(3)/Fib(2)

خواهیم دید که این اعداد در حقیقت جملات دنباله Phi(n) میباشنى که همانطور که در قبل نشان داده شد در بی نهایت به Phi میل می کنند.

۷-۱- عدد طلایی ، گنگ یا گویا :

با کمی دقت به آسانی درخواهیم یافت عدد طلایی یکی از اعضاء مجموعه اعداد گنگ می باشد اما برای اثبات این ادعا استدلال جالب توجهی وجود دارد که بیان آن خالی از لطف نیست :

برای اثبات درنظر داریم از برهان خلف استفاده کنیم . در ابتدا فرض کنیم Phi یک عدد گنگ نیست
( خلاف حکم ) ، اگر این فرض را قبول کنیم باید پذیرفت که عدد Phi گویاست و لذا می توان آن را به صورت کسر دو عدد صحیح نمایش داد . فرض کنیم کسر موردنظر A/B باشد ، می توان این کسر را تا آنجا ساده کرد که صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند ( هیچ عامل اول مشترکی نداشته باشند ) ، پس داریم :

Phi = A/B = p/q

به طوریکه p , q نسبت به هم اول می باشند ، حال به تعریف Phi رجوع می کنیم :‌

می دانیم که چون q در مخرج کسر قرار گرفته پس  ، پس با ضرب طرفین (*) در q² خواهیم داشت :

همانطور که ملاحظه می کنید سمت چپ معادله دارای عامل p می باشد پس p عامل q² هم خواهد بود ، اما چون p,q نسبت به هم اول هستند پس p=1 خواهد بود.

از طرف دیگر از رابطه (**) خواهیم داشت :

باز هم مانند استدلال قبل چون q از عوامل سمت راست معادله است پس باید عامل سمت چپ معادله هم باشد پس q عامل P²  است و چون p,q نسبت به هم اول هستند q=1 خواهد شد ، در نتیجه :

Phi = p/q=1/1=1

ولی عدد یک در تعریف Phi صدق نمی کند ، این تناقض مبین باطل بودن فرض است ، یعنی Phi گویا نیست پس ثابت شد که Phi گنگ است .

۸-۱- دواثبات برای رابطه عمومی جملات دنباله فیبوناچی

در اینجا دو اثبات برای رابطه عمومی اعداد طلایی  را مطرح می کنیم . روش اول ساده ترین اثباتی است که تاکنون برای این رابطه مطرح شده و در روش دوم با استفاده از ماتریس ها به اثباتی برای این رابطه دست خواهیم یافت .

اثبات اول ( ساده ترین روش مطرح شده ) :‌

از آنچه در مطلب خواص دنباله فیبوناچی و عدد طلایی آمده داریم :

Phiⁿ = Fib(n-1)+Fib(n)Phi

(-Phi)ⁿ = Fib(n-1)-Fib(n)Phi

از تفریق دو رابطه (۱) و (۲) خواهیم داشت :‌

از آنجا که :‌

خواهیم داشت :

حال برای بدست آوردن رابطه مطلوب از رابطه حاصل شده از رابطه :                                     Phi = 1/Phi

که در قبل درستی آن نشان داده شده استفاده می کنیم ، خواهیم داشت :

همانطور که ملاحظه کردید به سادگی با استفاده از روابطی که در گذشته اثبات نمودیم رابطه عمومی دنباله اعداد فیبوناچی اثبات شد .

اثبات دوم ( با استفاده از ماتریسها ) :

تمام مقالات و پایان نامه و پروژه ها به صورت فایل دنلودی می باشند و شما به محض پرداخت آنلاین مبلغ همان لحظه قادر به دریافت فایل خواهید بود. این عملیات کاملاً خودکار بوده و توسط سیستم انجام می پذیرد.

 جهت پرداخت مبلغ شما به درگاه پرداخت یکی از بانک ها منتقل خواهید شد، برای پرداخت آنلاین از درگاه بانک این بانک ها، حتماً نیاز نیست که شما شماره کارت همان بانک را داشته باشید و بلکه شما میتوانید از طریق همه کارت های عضو شبکه بانکی، مبلغ  را پرداخت نمایید.